벡터의 내적
이전 포스트에서 벡터의 합과 차에 대해서 공부했었습니다. 벡터의 다른 연산으로는 내적(dot)과 외적(cross)이 있습니다. 먼저 내적에 대해 알아봅시다.
내적 연산은 다음 두가지의 방식으로 값을 구할 수 있습니다.
첫번째는 벡터U(x,y)의 성분과 벡터V(x,y)의 성분을 각각 곱하고 더한 값입니다.
(V’는 V에 코사인 세타를 곱한 값입니다)
두번째로는 V벡터를 V(x,0)으로 분해하고(V’) U벡터의 크기와의 곱에 코사인 세타를 곱한 값과 같습니다.
V(0,y)는 내적 연산의 결과에 영향을 미치지 않기 때문입니다.
이제 이 공식을 가지고 다르게 생각해봅시다.
빛은 광자(Photon)로 이루어져있습니다. 빛 알갱이들이 물체의 표면에 부딪혀서 반사되어 우리의 눈으로 들어올 때 시신경이 물체를 감지 할 수 있는 겁니다.
태양에서 세개의 광자가 나와서 폴리곤에 부딪혔다고 가정합시다. 빨간색 폴리곤은 빛에 수직이고 파란색 폴리곤은 조금 기울어졌습니다. 어떤 폴리곤이 우리 눈에 더 밝게 보일까요?
정답은 빨간색입니다. 광자의 숫자는 그대로지만 광자가 부딪친 면적은 파란색이 더 넓기 때문에 파란색이 빨간색 보다 어둡습니다. 폴리곤의 기울기, 즉 각도에 따라 명암을 결정할 수 있습니다.
그렇다면 광자의 운동도 벡터로 생각하고 폴리곤 표면의 노말도 벡터로 생각한다면 어떨까요?
그렇습니다. 위에서 배운 공식 대로 두 벡터의 내적을 계산 할 수 있습니다.
위에서 배운 식대로 내적을 계산해봅시다. 유니티 엔진에서 노말 벡터는 단위벡터입니다. 그리고 빛 또한 단위벡터입니다. 그러니 두 벡터의 크기가 모두 1으로 고정 되어 있습니다.
내적을 계산해보면 결국 코사인 세타가 곧 내적 값이 됩니다. 달리말하면 각도에 코사인 함수를 적용한 값입니다.
위와 같은 식으로 각도마다 대응하는 내적 값을 구할 수 있습니다. 1과 -1 사이의 값이 보입니다. 저 수치를 색으로 사용하면 명암이 나올 것 같습니다. 이것을 노드로 작성해봅시다.
벡터의 내적 응용
먼저 노말 벡터 노드 부터 생성합시다. 노말 벡터의 공간은 ‘월드’ 좌표여야 합니다. 오브젝트의 중심을 월드 좌표로 설정하는 것입니다.
UV 노드와 색이 비슷합니다. UV 노드와 똑같이 좌표 값을 색으로 표현했기 때문입니다.
차이점은 축이 하나더 늘어났을 뿐입니다.
월드 좌표는 오브젝트를 아무리 트랜스폼 해도 변하지 않습니다.
다음은 라이트 벡터입니다. URP Shader Graph 에서는 라이트 소스에 대한 노드를 제공하지 않습니다. 그래서 직접 커스텀 함수 노드를 추가하고 아래와 같이 hlsl 코드를 작성해야 합니다.
# if SHADERGRAPH_PREVIEW
Direction = float3(1,0,0);
Color = float3(0,1,0);
# else
Light light = GetMainLight();
Direction = light.direction;
Color = light.color;
# endif
커스텀 함수 노드로 조명의 벡터와 조명의 컬러값을 받아옵니다.
함수가 제대로 작동하는지 라이트 벡터를 출력해봅시다.
이제 월드 노말 벡터와 커스텀 펑션으로 받은 라이트 벡터의 내적을 구하고 컬러로 출력합니다.
다음과 같은 결과물이 출력됩니다. 하지만 지금 결과물에서는 검은색 부분이 0이 아닌 음수로 처리되고 있습니다. 제대로된 라이팅을 위해 0과 1사이의 값만 남겨줘야 합니다.
Clamp 노드 혹은 Saturate 노드를 이용해 0~1 사이의 값으로 자른 뒤 앰비언트 노드를 추가하여 스카이박스의 앰비언트 컬러를 더해줍시다.
앰비언트 컬러가 반영됩니다. 조명의 색도 반영 되도록 만들고 싶다면 커스텀 함수의 컬러 값으로 받아온 조명 색을 곱해주면 됩니다.
Half-Lambert
하지만 지금은 그림자가 너무 강해서 예쁘지 않습니다. 전체 면적의 절반이 0이하의 값이라서 그렇습니다. Half lambert 공식을 이용해 예쁘게 보정 해봅시다.
먼저 음수의 색 값을 살리기 위해 Clamp 노드를 지웁니다.
Half lambert 공식은 위와 같습니다. 색의 변화를 한 눈에 알 수 있게 그라디언트로 표현했습니다. 0.5를 곱했을 때 색 범위가 절반으로 줄어듭니다. 그다음 0.5를 더하면 0~1 사이의 값만 남게 되는 것입니다.
이번에는 음영이 너무 약해졌으니 제곱(Power) 노드로 좀 더 보정 해봅시다.
0~1 사이의 색을 제곱 하는 것은 어떤 의미가 있을까요?
세로 축은 그라디언트의 범위고 가로축은 대응되는 색을 숫자로 나타낸 것입니다. 항등함수 f(x)=x 그래프와 동일합니다.
2만큼 제곱 하면 균일하게 선형으로 0부터 1까지 분포되어있는 그라디언트의 어두운 부분을 강제로 확장하는 것입니다. 반대로 1/2을 제곱하면 유리수 지수 법칙에 의해 전체 값의 제곱근만큼 증가 하니 어두운 부분을 강제로 축소 합니다.
지식이 있다면 감마 보정(Gamma Collection) 그래프와 매우 비슷하게 생겼다는 점을 눈치 챌 수 있습니다.
Half-lambert 공식에 조명의 색 까지 곱해준 최종 결과물입니다.
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